Практической целью работы является создание компьютерной системы, моделирующей движения человека, в частности, спортивные упражнения. Моделирование основано на аналогии опорно-двигательного аппарата человека с антропоморфным механизмом (шарнирным многозвенником), движение которого описывается законами классической механики (системой нелинейных функционально-дифференциальных уравнений).

Антропоморфный механизм (АМ) представляет собой n последовательно соединенных идеальными шаровыми шарнирами (моделирующими суставы) твёрдых тел (звеньев). Форма звеньев не имеет значения, т.к. в уравнения движения входит только в виде координат центров масс звеньев и их центральных моментов инерции. Предполагается, что все шарниры и все внешние силы лежат в одной плоскости, а центры масс звеньев расположены на отрезках, соединяющих их шарниры. Внешними силами, действующей на звенья, являются силы тяжести и пары сил, моделирующие мышечные усилия в суставе ("суставные моменты"). Рассматривается лишь плоское движение механизма. Тогда положение n-звенника можно полностью задать значениями (n+2)-х обобщенных координат, например, координат (х, у) его начальной точки и углов _i, i=1,...,n, поворота звеньев относительно оси Х. Таким образом, если n-звенник не имеет закрепленных точек, он представляет собой механическую систему с (n+2)-мя степенями свободы. Динамическое состояние механизма с заданными массово-геометрическими характеристиками полностью описывается 4n+2 функциями времени: (n+2) кинематическими параметрами _i(t), x(t), y(t) и 3n силовыми параметрами: проекциями X_i (t) , Y_i (t) сил взаимодействия звеньев в шарнирах на неподвижные оси координат X, Y и "суставными" моментами M_i(t) (моментами пар сил приложенных к каждому звену в соединяющем их шарнире). Эти функции связаны системой 3n уравнений движения (дифференциальных уравнений второго порядка относительно _i(t)).

В процессе создания математической и компьютерной моделей движений рассматриваемого типа решались две основные проблемы. Первая связана с разработкой собственно математической модели: c выводом уравнений движения системы в удобной для изучения и численного решения форме, их анализом, выбором численного алгоритма для их решения, программированием алгоритма решения задачи, отладкой программы и расширением ее сервисных возможностей. Вторая проблема связана с подготовкой исходных данных, необходимых для проведения процесса моделирования. Такими исходными данными, необходимыми, например, для решения обратной задачи, являются кинематические параметры системы, т.е. углы, угловые скорости и угловые ускорения как функции времени. Оказывается, что их адекватное задание представляет собой довольно сложную задачу. Мы будем называть её задачей генерации движения.

Анализ литературы и существа проблемы показал непригодность использования данных регистрации для этой цели. Поэтому развит теоретический подход к решению этой задачи, т.е. явно сформулированы качественные и некоторые количественные требования к углам между суставами, положению центра масс и другим кинематическим и динамическим характеристикам движения АМ. Эксперт задает характерные фазы изучаемого движения, т.е. интервалы монотонного изменения некоторой обобщенной координаты многозвенника (например, угла между звеньями _i(t)). Обычно весь период спортивного движения состоит из небольшого числа таких фаз. Поскольку для моделирования движения требуется непрерывная реализация, т.е. необходимо знать углы, угловые скорости и угловые ускорения в произвольный момент времени от начала движения, необходимо характерные точки (граничные значения фаз) соединить гладкой кривой, т.е. кривой с непрерывной первой и второй производной. С этой целью аналитически построено и исследовано многопараметрическое семейство функций, задающих зависимость углов поворота звеньев механизма от времени и обладающих определенными свойствами, присущими кинематическим характеристикам движения суставов человека. Наличие нескольких свободных числовых параметров в этом семействе предоставляет гибкий аналитический аппарат задания функций (с целью управления движением АМ), описывающих характерные фазы движения и позволяет избежать накопления ошибок при численном дифференцировании дискретных (экспериментальных) данных.

В данной работе изучается широкий класс задач (включающий, в частности, прямые и обратные задачи), которые будут называться смешанными задачами динамики антропоморфного механизма (n-звенника). Они заключаются в следующем: зная массово-геометрические характеристики механизма (длины звеньев, их массы, положения центров масс, центральные моменты инерции) и какие-либо n+2 параметра состояния (часть кинематических и часть силовых) как функции времени, найти остальные 3n параметра.

Предлагаемый алгоритм решения смешанных задач динамики n-звенника основан на преобразовании уравнений движения n-звенника к специальной форме: такой чтобы каждое уравнение содержало ровно один силовой параметр (проекцию силы реакции в шарнире или момент). Тогда алгоритму решения смешанной задачи можно придать достаточно простой вид: если заданы m силовых параметров и n+2-m кинематических (тогда неизвестными остаются 3n параметров), то выбираем из 3n уравнений те m штук, в которые входят заданные усилия, и подставляем в них все заданные параметры; тогда получится система m дифференциальных уравнений с m неизвестными _ij(t), j=1, ..., m, которую интегрируем численно; в результате становятся известными все кинематические параметры (т.е. положение n-звенника в любой момент времени), и остаётся подставить их вместе с производными первого и второго порядка в выражения для интересующих силовых параметров. Таким образом, независимо от числа звеньев n, порядок интегрируемой системы уравнений равен 2m (m зависит от моделируемого движения), что значительно меньше порядка системы всех уравнений движения звеньев, равного 6n. Это позволяет существенно повысить эффективность и точность численного решения.

С целью математического обоснования универсальности разработанного вычислительного процесса доказаны теоремы о разрешимости относительно старших производных систем дифференциальных уравнений движения механизма в опорной стадии и в стадии полёта. Для выявления сферы применимости разработанного алгоритма крайне важен вопрос о том, любой ли набор из n+2 параметров можно задать, приняв остальные за неизвестные, не столкнувшись с принципиальными математическими или вычислительными препятствиями при решении задачи. В результате поисков ответа на него доказано следующее утверждение: если из каждой пары энергетически сопряжённых параметров (X ₁,x), (Y ₁,y), (М _i,_i ), где _i = _i - _i-1 - углы в суставах, задаётся ровно один, то при любых значениях массово-геометрических характеристик механизма и при любой его конфигурации квадратная матрица коэффициентов при старших (вторых) производных искомых (не заданных) углов q _i в интегрируемой подсистеме m дифференциальных уравнений второго порядка положительно определена (в частности, обратима), и потому эта система разрешима относительно старших производных, т.е. приводится к системе уравнений первого порядка нормальной формы.

Рассмотрены и задачи, которые состоят из нескольких стадий (описываемых смешанными задачами), каждая из которых характеризуется своим набором из n+2 задаваемых кинематических и динамических параметров многозвенника. Такие задачи возникают, например, при попытке описать прыжок (стадии толчка и полета), упражнения гимнаста на перекладине (стадии вращения на перекладине и соскока или перелёта) и т.п. В этих случаях фаза взаимодействия с опорой характеризуется заданием параметров x(t)=0, y(t)=0, M₁(t)=0 при tc[0;t*], а фаза свободного полета - заданием Х₁(t)=0, Y₁(t)=0, M₁(t)=0 при t> t* (остальные n-1 задаваемых параметров могут выбираться по разному, например, можно задать зависимость от времени некоторых углов _i(t) между звеньями). Моменты времени t*, в которые происходит переход от одной стадии движения к другой, могут задаваться как явным указанием числовых значений, так и неявными условиями переключения, выраженными в виде систем уравнений или неравенств, содержащих кинематические или динамические параметры многозвенника.

При численном решении составных задач, как только заданное условие переключения начинает выполняться, т.е. при наступлении момента t=t*, производится автоматическая замена набора задаваемых (и искомых) параметров, а в качестве начальных условий для всех новых искомых параметров принимаются их значения при t=t* в конце предыдущей стадии движения. Таким образом, автоматически формируется постановка новой смешанной задачи при t>t* и строится ее решение.

При любом использовании данного материала ссылка на первоисточник обязательна!

Хасин, Л.А. Математическое моделирование движений человека (схема с суставными моментами) / Хасин Л.А., Хохлов А.В. // Моделирование спортив. деятельности в искусственно созд. среде (стенды, тренажеры, имитаторы) : (материалы конф.). - М., 1999. - С. 226-231.