АРБИТРАЖ


Владимир
ДВОРКОВИЧ,
международный
арбитр



УНИВЕРСАЛЬНАЯ СИСТЕМА?



ПРЕДЛОЖЕНИЕ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИКА


      Попытки подсчета индивидуальных коэффициентов шахматистов предпринимались еще в 40-е годы (Зефиров), затем в 60-е (А.Хачатуров, Б.Беркин), но распространения они не получили. Признание обрела лишь система рейтингов, разработанная американским профессором Арпадом Эло. Она не раз подвергалась обоснованной критике, но никакие поправки так и не были приняты. Альтернативные системы применялись для подсчета национальных рейтингов в различных странах, и они используются по сей день. На территории бывшего Союза одно время использовалась система, разработанная Э.Дубовым, но она не имела финансового обеспечения и вскоре вышла из употребления.
     Но поиски новых идей не прекращаются. Самым значительным шагом в этом направлении стала система, разработанная американским ученым, создателем языка программирования «Юникс» Кеном Томсоном. Она уже более пяти лет применяется для расчета профессиональных рейтингов, которые, однако, широкого распространения не имеет, хотя и более корректно отражает результаты ведущих шахматистов. Недавно с очередным предложением выступил московский математик Дмитрий Мальковский. Предлагаем вниманию читателей основные положения новой системы, названной автором Универсальной рейтинговой системой (УРС).
     Основным элементом является формула вычисления изменений рейтинга. Допустим, в матче шахматистов А и В выигрывает первый. Чем больше очков он набирает, тем выше станет его рейтинг, и можно предположить, что рейтинг А во столько раз больше рейтинга В, во сколько раз А набрал больше очков, чем В. Эта оценка будет тем точнее, чем больше сыграно партий между ними. Чтобы избежать ошибки при малом числе партий, необходимо ввести параметр m, определяющий, какая в этом случае часть рейтинга защищена от случайностей, а какая может изменяться. Иными словами, этот параметр учитывает предысторию. Доматчевые рейтинги rA и rB определены на m предыдущих партиях, а послематчевые RA и RB получены путем коррекции rA и rB по результатам самого матча. Корректироваться может только n/m+n часть рейтинга (n — число партий).
     Первое предположение, положенное в основу системы: отношение рейтингов соперников по матчу равно отношению набранных ими очков.
     RA/RB = (NA+MA)/(NB+MB),
     Здесь NA и NB — количество очков, набранных игроками A и В, МА и МВ — количество очков, «как бы» набранных этими игроками.
     Поскольку n=NA+NB и m=МА+МВ, очевидно, что
     МА = m+rA/(rA+rB) и MB = m+rB/(rA+rB).
     Поэтому, исходя из сделанного предположения, можно считать, что отношение рейтингов двух соперников равно отношению вероятностей их выигрыша друг у друга. Следствием этого является и то, что рейтинги участников меняются за счет друг друга: сколько у одного убывает, столько другому прибывает. Отсюда следует, что сумма рейтингов до и после матча не меняется: RA+RB = rA+rB.
     В дальнейшем путем математических преобразований можно получить следующие формулы:
     RA = rA+(rA+rB)+(NA-NAO) /(m+n) (1)
     RB = rB+(rA+rB)+(NB-NBO) /(m+n) (2),
     где NAO и NBO — ожидаемое количество очков игроков А и В.
     NAO = rA+n/(rA+rB)
     NBO = rB+n/(rA+rB)
     Так обстоит дело в матче. Результат в турнире для каждого участника можно интерпретировать как сумму результатов микроматчей со всеми соперниками. Но можно воспользоваться и упрощенной формулой, предположив, что в процессе турнира рейтинги игроков не изменяются, и вычислить их по окончательным результатам. Она выглядит так:
     Ri = ri + Ki+(Ni-Oi+Di) (3),
     где Ri — рейтинг i-го игрока после турнира;
     Ki — коэффициент, определяющий «вес» или «стоимость» каждого набранного очка;
     Ni — количество очков, набранных i-м участником;
     Oi — ожидаемое количество очков;
     Di — поправка, учитывающая «качество» набранных очков в зависимости от партнеров.
     Очевидно, что формулы (1), (2) и (3) похожи на известную формулу Арпада Эло, но отличаются тем, что все параметры и коэффициенты определены строго математически и не являются искусственными. Это касается «цены» каждого очка, которая зависит от рейтингов соперников.
     Рассмотрим расчет рейтингов на примере матчей А.Халифман — П.Леко (1½:4½) и Й.Пикет — В.Ткачев (4:4).
     Начальный рейтинг А.Халифмана — 2655, П.Леко — 2725.
     Предположим, что m = 72, тогда разыгрываться будет около 10% рейтинга, т.е 270 единиц.
     Ожидаемое количество очков А.Халифмана и П.Леко соответственно:
     2655+6/(2655+2725) = 2,96 2,7
     2725+6/(2725+2655) = 3,04 3,3
     Рейтинги после матча:
     RХ = 2655 + (2655+2725)+ (1,5-2,96)/(72+6) = 2655-100,7 = 2554,3
     RЛ = 2725 + (2655+2725)+ (4,5-3,04)/(72+6) = 2725+100,7=2825,7
     RХ = 2655 + (2655+2725)+ (1,5-2,96)/(200+6) = 2655-39,1=2615,9
     RЛ = 2725 + (2655+2725)+ (4,5-3,04)/(200+6) = 2725+39,1=2764,1
     Начальный рейтинг Й.Пикета — 2641, В.Ткачева — 2672, соответственно:
     2641+8/(2641+2672) = 3,98
     2672+8/(2641+2672) = 4,02
     Рейтинги после матча:
     RП = 2641 + (2641+2672)+ (4-3,98)/(200+6) = 2641,5
     RТ = 2672 + (2641+2672)+ (4-4,02)/(200+6) = 2671,5
     Сравним изменения рейтингов по системе Эло и новой, предлагаемой автором, на примере одного из недавних турниров (таблица приведена на стр. 10 — ред.). Исходя из междоусобных встреч, получим такую таблицу:

Mal Elo
1. Ю.Полгар 2658 +12 +16
2. А.Халифман 2656 +9 +12
3. А.Карпов 2696 +8 +7
4. Ж.Милош 2620 +6 +11
5. Я.Сейраван 2647 +3 +2
6. Я.Тимман 2655 -3 -9
7. У.Адианто 2584 -3 0
8. Я.Эльвест 2622 -4 -14
9. Р.Гунаван 2507 -11 -5
10. Зо Вин Лей 2633 -12 -21

     Эти результаты показывают, что рейтинги, рассчитанные по системе Д.Мальковского, более «защищены» от резких изменений. Главным же является попытка найти математическое выражение коэффициента развития, который в системе Арпада Эло одинаков для всех, имеющих рейтинг на основе более 60 сыгранных партий (он равен 10). Что касается коэффициентов, которые даются в системе Эло тем, кто впервые играет в турнирах с расчетом рейтингов (25 и 15), то они вносят значительную инфляционную составляющую и расшатывают систему.


На главную страницу

 Library В библиотеку