| АРБИТРАЖ |
Владимир |
УНИВЕРСАЛЬНАЯ СИСТЕМА? |
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИКА Попытки подсчета индивидуальных коэффициентов шахматистов предпринимались еще в 40-е годы (Зефиров), затем в 60-е (А.Хачатуров, Б.Беркин), но распространения они не получили. Признание обрела лишь система рейтингов, разработанная американским профессором Арпадом Эло. Она не раз подвергалась обоснованной критике, но никакие поправки так и не были приняты. Альтернативные системы применялись для подсчета национальных рейтингов в различных странах, и они используются по сей день. На территории бывшего Союза одно время использовалась система, разработанная Э.Дубовым, но она не имела финансового обеспечения и вскоре вышла из употребления. Но поиски новых идей не прекращаются. Самым значительным шагом в этом направлении стала система, разработанная американским ученым, создателем языка программирования «Юникс» Кеном Томсоном. Она уже более пяти лет применяется для расчета профессиональных рейтингов, которые, однако, широкого распространения не имеет, хотя и более корректно отражает результаты ведущих шахматистов. Недавно с очередным предложением выступил московский математик Дмитрий Мальковский. Предлагаем вниманию читателей основные положения новой системы, названной автором Универсальной рейтинговой системой (УРС). Основным элементом является формула вычисления изменений рейтинга. Допустим, в матче шахматистов А и В выигрывает первый. Чем больше очков он набирает, тем выше станет его рейтинг, и можно предположить, что рейтинг А во столько раз больше рейтинга В, во сколько раз А набрал больше очков, чем В. Эта оценка будет тем точнее, чем больше сыграно партий между ними. Чтобы избежать ошибки при малом числе партий, необходимо ввести параметр m, определяющий, какая в этом случае часть рейтинга защищена от случайностей, а какая может изменяться. Иными словами, этот параметр учитывает предысторию. Доматчевые рейтинги rA и rB определены на m предыдущих партиях, а послематчевые RA и RB получены путем коррекции rA и rB по результатам самого матча. Корректироваться может только n/m+n часть рейтинга (n — число партий). Первое предположение, положенное в основу системы: отношение рейтингов соперников по матчу равно отношению набранных ими очков. RA/RB = (NA+MA)/(NB+MB), Здесь NA и NB — количество очков, набранных игроками A и В, МА и МВ — количество очков, «как бы» набранных этими игроками. Поскольку n=NA+NB и m=МА+МВ, очевидно, что МА = m+rA/(rA+rB) и MB = m+rB/(rA+rB). Поэтому, исходя из сделанного предположения, можно считать, что отношение рейтингов двух соперников равно отношению вероятностей их выигрыша друг у друга. Следствием этого является и то, что рейтинги участников меняются за счет друг друга: сколько у одного убывает, столько другому прибывает. Отсюда следует, что сумма рейтингов до и после матча не меняется: RA+RB = rA+rB. В дальнейшем путем математических преобразований можно получить следующие формулы: RA = rA+(rA+rB)+(NA-NAO) /(m+n) (1) RB = rB+(rA+rB)+(NB-NBO) /(m+n) (2), где NAO и NBO — ожидаемое количество очков игроков А и В. NAO = rA+n/(rA+rB) NBO = rB+n/(rA+rB) Так обстоит дело в матче. Результат в турнире для каждого участника можно интерпретировать как сумму результатов микроматчей со всеми соперниками. Но можно воспользоваться и упрощенной формулой, предположив, что в процессе турнира рейтинги игроков не изменяются, и вычислить их по окончательным результатам. Она выглядит так: Ri = ri + Ki+(Ni-Oi+Di) (3), где Ri — рейтинг i-го игрока после турнира; Ki — коэффициент, определяющий «вес» или «стоимость» каждого набранного очка; Ni — количество очков, набранных i-м участником; Oi — ожидаемое количество очков; Di — поправка, учитывающая «качество» набранных очков в зависимости от партнеров. Очевидно, что формулы (1), (2) и (3) похожи на известную формулу Арпада Эло, но отличаются тем, что все параметры и коэффициенты определены строго математически и не являются искусственными. Это касается «цены» каждого очка, которая зависит от рейтингов соперников. Рассмотрим расчет рейтингов на примере матчей А.Халифман — П.Леко (1½:4½) и Й.Пикет — В.Ткачев (4:4). Начальный рейтинг А.Халифмана — 2655, П.Леко — 2725. Предположим, что m = 72, тогда разыгрываться будет около 10% рейтинга, т.е 270 единиц. Ожидаемое количество очков А.Халифмана и П.Леко соответственно: 2655+6/(2655+2725) = 2,96 2,7 2725+6/(2725+2655) = 3,04 3,3 Рейтинги после матча: RХ = 2655 + (2655+2725)+ (1,5-2,96)/(72+6) = 2655-100,7 = 2554,3 RЛ = 2725 + (2655+2725)+ (4,5-3,04)/(72+6) = 2725+100,7=2825,7 RХ = 2655 + (2655+2725)+ (1,5-2,96)/(200+6) = 2655-39,1=2615,9 RЛ = 2725 + (2655+2725)+ (4,5-3,04)/(200+6) = 2725+39,1=2764,1 Начальный рейтинг Й.Пикета — 2641, В.Ткачева — 2672, соответственно: 2641+8/(2641+2672) = 3,98 2672+8/(2641+2672) = 4,02 Рейтинги после матча: RП = 2641 + (2641+2672)+ (4-3,98)/(200+6) = 2641,5 RТ = 2672 + (2641+2672)+ (4-4,02)/(200+6) = 2671,5 Сравним изменения рейтингов по системе Эло и новой, предлагаемой автором, на примере одного из недавних турниров (таблица приведена на стр. 10 — ред.). Исходя из междоусобных встреч, получим такую таблицу:
Эти результаты показывают, что рейтинги, рассчитанные по системе Д.Мальковского, более «защищены» от резких изменений. Главным же является попытка найти математическое выражение коэффициента развития, который в системе Арпада Эло одинаков для всех, имеющих рейтинг на основе более 60 сыгранных партий (он равен 10). Что касается коэффициентов, которые даются в системе Эло тем, кто впервые играет в турнирах с расчетом рейтингов (25 и 15), то они вносят значительную инфляционную составляющую и расшатывают систему. |
В библиотеку