КОНСУЛЬТАЦИИ

Abstract

DETERMINATION OF BALL FLIGHT'S OPTIMAL TRAJECTORIES AND AIMS CHARACTERISTICS IN BASKET-BALL WHEN LONG AND MIDDLE SHOOTING

V.N. Pritykin

Basket-ball club " Siberia" in Omsk V.A. Lesukov

Siberian state academy of physical culture A.A. Geraskin, doctor of pedagogy

A.V. Rodionov, professor All-russian research institute of physical culture

Key words: ball's flight, optimal trajectory, real target, extended target, target function, angle of ball's release, angle of attack.

The purpose of this study was elaborate the method to determine the ball flight's optimal trajectories and aims characteristics in basket-ball when shooting from various distances.

The influence of different factors on the accuracy in shooting and goaling was represented by formula Q=F-sin a / L², where F - goal area spacing in ring's flatness; L - the length of the ball flight's trajectory; Q - target function, л - angle of target Q. The problem of L and a calculation on F's determination was to be solved.

The given theoretical research and pedagogical observation had helped to elaborate the complex methodology to improve the effectiveness of basketball players shots from middle and long distances.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА МЯЧА И ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕЛИ В БАСКЕТБОЛЕ ПРИ БРОСКАХ ПО КОЛЬЦУ СО СРЕДНИХ И ДАЛЬНИХ ДИСТАНЦИЙ

В.Н. Притыкин
Баскетбольный клуб "Сибирь", Омск

В.А. Лесуков
Сибирская государственная академия физической культуры

Кандидат педагогических наук А.А. Гераськин
Профессор А. В. Родионов
Всероссийский научно-исследовательский институт физической культуры

Ключевые слова: оптимальная траектория полета мяча, чистая цель расширенная цель, целевая функция, угол выпуска мяча, угол атаки.

Все многообразие технических и тактических действий игры в баскетболе, от которых зависит ее исход, направлено на достижение главной цели:

точно попадать мячом по кольцу. Объективной составляющей точности попадания является размер цели, который, очевидно, не должен отождествляться с площадью кольца: например, он будет меняться в зависимости от угла входа мяча в кольцо (угла атаки) . Этот угол связан с траекторией движения мяча, и в частности с углом выпуска мяча из начальной точки 0 (рис. 1).

Отметим, что в доступных нам литературных источниках эти вопросы рассмотрены неполно и понятие цели не сформулировано достаточно определенно. Так, в работе [4] за цель принимается все кольцо, а в монографии [7] дается характеристика лишь одной из компонент цели: при броске по низкой траектории мяч "видит" меньшую, открытую, часть обруча. В работе [8] подмечен другой фактор, влияющий на точность попадания: отклонение в точности направления броска возрастает пропорционально длине пути. В основном же в литературе дается качественный анализ факторов, влияющих на точность попадания (бросать со средних траекторий) [5, 7, 8], и внимание исследователей сосредоточено на допустимых отклонениях от угла выпуска мяча [4, 6, 10].

Между тем это влияние факторов на точность попадания можно представить на языке символов по предлагаемой формуле:

(1)

где F - площадь цели, лежащая в плоскости кольца, обладающая свойством обеспечивать попадание мяча в кольцо при проходе его центра в любую точку этой цели; L - длина траектории полета мяча, приходящаяся в центр площади F; - целевая функция, или угловой размер цели, от которого зависит точность попадания, т.е. телесный угол, измеряемый в стерадианах, под которым видится цель из начальной точки выпуска мяча в искривленных световых лучах, совпадающих с траекториями центра мяча и проходящих по контуру цели (рис. 1). Иначе говоря, расстояние до цели определяется не по прямой, а по траектории, от длины которой зависит угловой размер цели - обратно пропорционально квадрату длины траектории. Анализ выражения (1) показывает, что при уменьшении угол цели уменьшается до какого угодно малого значения. Вместе с тем П также становится малой при больших за счет больших значений L. Отсюда следует, что существует максимум значений , соответствующий оптимальной траектории полета мяча.

Рис. 1. К определению понятия размера цели в баскетболе. Размеры F, L и показаны условно

Для исследования этого вопроса вначале решалась задача вычисления траектории полета мяча (L, ), а затем задача определения F. Рассмотрим случай прямой атаки кольца без отскока от щита. Предварительно параметры траектории можно вычислять без учета сопротивления воздуха, исходя из основных законов механики:

Однако, как показали вычисления с учетом сопротивления воздуха, это приводит к погрешности траектории по дальности броска в 30-50 см. По экспериментальным данным специальных исследований [1, 11] для чисел Рейнольдса Re=(l-2)-105, соответствующих полету баскетбольного мяча при бросках со средних и дальних дистанций, коэффициент лобового сопротивления для шара составляет Сл = 0,45-0,5.

Коэффициент подъемной силы от вращения мяча (сила Магнуса) для нашего случая ограничен величиной С_m < 0,05 [12], т.е. составляет десятую часть от коэффициента лобового сопротивления, поэтому им можно пренебречь. В работе [4] рассмотрен вопрос учета сопротивления воздуха при полете баскетбольного мяча, однако в исходных уравнениях допущены неточности. Обычно уравнения движения баллистического тела (в частности, мяча) с учетом лобового сопротивления воздуха записывают в виде [9]:

(2)

где u, w, u', w'- проекции скорости мяча v и их производные по времени t соответственно на оси х и z. С=Сл r² p/(2m) - постоянная, r - радиус мяча, р - плотность воздуха, m - масса мяча, g - ускорение силы тяжести.

Рис. 2. К определению понятия "чистой" и расширенной цели для задней дуги кольца: а) некоторые предельные положения мяча при его взаимодействии с кольцом. Штрих-пунктирными линиями показаны направление полета и предельное положение мяча при "чистом" попадании в кольцо; б) модель взаимодействия мяча с кольцом в виде тора (кольцо) и световых частиц (мяч). 1,2 - путь центра мяча после первого и второго отскоков. ОА, OB - соответственно радиусы "чистой" и расширенной цели в плоскости броска

Уравнения (2) представляют собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями: t = 0, v-= v₀, =₀. С ними связаны начальные компоненты скорости u₀ = u₀ Cos₀, w₀ = v₀ Sin₀- Система решалась численно методом типа Рунге-Кутта 2-го порядка точности с шагом по времени t = (10^-3 - 10^-4) с. Однако в нашей задаче начальные условия произвольны (неизвестны) и не обеспечивают при решении попадания мяча в центр кольца. Поэтому в алгоритме дополнительно предусмотрен поиск корней u₀, w₀ по функции отклонения точки прихода мяча на плоскость кольца от его центра методом хорд с погрешностью не более 0,2 мм. Угол атаки определялся через отношение проекций скоростей в конечной точке траектории tg =   -wk/uk, а длина траектории

численным интегрированием по формуле трапеций.

Перейдем к определению третьего параметра из формулы (I): площади цели F. Будем различать площадь цели при "чистом" попадании, если контур цели образован пересечением плоскости кольца совокупностью предельных траекторий центра мяча, когда мяч при проходе в кольцо касается обода, но не меняет направления своего движения (рис. 2, а). Бросок также будет результативным при отскоках от обода, если мяч в итоге проходит в кольцо. Принималось, что удары мяча о кольцо абсолютно упругие, т.е. соответствуют оптическому закону "угол падения равен углу отражения", а движения мяча внутри кольца при отскоках прямолинейные, учитывая небольшие отрезки, проходимые мячом внутри кольца, и его сравнительно высокую скорость при бросках со средних и дальних дистанций.

При этих допущениях задача определения движения мяча с отскоками в кольце относится к задаче о рассеивающих бильярдах [3]. Была построена эквивалентная геометрическая модель, в соответствии с которой "тонкий" обод кольца увеличивается по диаметру сечения на величину диаметра мяча и превращается в тор, а мяч соответственно на эту же величину уменьшается по диаметру и превращается в материальную точку (бильярдную, или световую, частицу). На рис. 2 дугами показана часть сечения тороидальной поверхности. Если осветить ее параллельным пучком света, моделирующим пучок траекторий центра мяча, под углом (рис. 2, б), то световой поток разделится на три части: первая, периферийная, часть пучка отразится от поверхности и не попадет внутрь тора (на рис. 2, б изображена короткими стрелками), вторая - сердцевина пучка - проходит в свободное пространство, охватываемое телом тора, не касаясь его поверхности (длинные стрелки), и третья - средняя часть пучка (средние стрелки) - сфокусируется при возможно многократных отражениях и пройдет внутрь тора. Граница между средней и периферийной частями невозмущенного пучка света, спроектированная на плоскость кольца под углом , будет представлять собой контур расширенной цели. Или иначе: расширенная цель представляет собой часть сечения невозмущенного пучка света (или пучка траекторий), падающего на тор под углом , свет которой в дальнейшем фокусируется и проходит внутрь тора. Сечение проводится параллельно плоскости кольца и затем переносится по ходу потока в плоскость кольца. Лучи (траектории), разделяющие среднюю часть и периферию пучка, обладают тем свойством, что они отражаются бесконечное число раз от тора, приближаясь к его срединной плоскости (см. рис. 2).

Рис. 3. Расширенная цель и ее составляющие в плоскости кольца при S = 4,225 м, Н = 1 м. I - "чистая" цель; II, Ш - расширения цели соответственно от передней и задней дуг. =60°; ₀=51°

Исходя из этого свойства, для определения границы расширенной цели с помощью методов векторной алгебры были получены две взаимозави-, симые рекуррентные системы уравнений в безразмерной форме: одна для углов, другая - для отрезков в виде тригонометрических соотношений. (Из-за требований к объему статьи и сравнительной громоздкости уравнений последние не приводятся.) На практике для решения этих трансцендентных уравнений ограничились семью отскоками: три отскока приходятся на верхнюю половину тора, столько же - на нижнюю и один - на линию пересечения тора срединной плоскостью (параллель минимального диаметра). Корни уравнений определялись численнс методом хорд с погрешностью до третьего знака после запятой. Вычисления производились на ЭВМ по программе, построенной в виде модулей. В итоге по углу выпуска ₀ определялись контуры "чистой" и расширенной целей, лежащих в плоскости кольца и представляющих собой эллиптическую либо чечевицеобразную форму (рис. 3). Вычислялись их площади F_i и затем по формуле (1) подсчитывались объемные углы цели _i. Определялась энергия, затраченная на бросок Е = mv²/2.

Для оценки эффективности попаданий по кольцу численно подсчитывался интеграл вероятности в соответствии с законом нормального распределения [2]

(3)

где задавались x, у - средние квадрати-ческие отклонения случайной величины (точек прихода центра мяча на плоскость кольца) соответственно по осям х и у; m_x, m_y - координаты математического ожидания случайной величины (или центра прицеливания); D - область в плоскости кольца, по которой ведется интегрирование.

Рис. 4. Соотношения угловых размеров частей расширенной цели в зависимости от угла выпуска мяча при S = 4,225 м, Н = 1 м. I - область "чистой цели; II, III - области расширения цели соответственно от передней и задней дуг

Рис. 5. Смещение центра цели x_c в сторону задней дуги относительно центра кольца в зависимости от угла выпуска мяча ₀ при S = 4,225 м, Н == 1 м

Рис. 6. Изменение объемного угла цели и энергии, затраченной на бросок Е, в зависимости от угла выпуска мяча ₀ при S = 4,225 м, Н = 1 м

Численные исследовния дали следующие результаты.

1. Площади "чистой" и расширенной целей, расположенные в плоскости кольца, значительно меньше свободной площади кольца и составляют от нее, например для угла атаки = 54° (₀= 60°), соответственно 14 и 28% (см. рис. 3, а).

2. Расширенная цель, учитывающая взаимодействие мяча с кольцом, значительно превосходит (по площади и по объемному углу) "чистую" цель в 2 раза и более (рис. 3, 4). Существует область результативных бросков, когда мяч не может пройти в кольцо "чисто", а только с отскоками от обода. Например, для S = 4,225 м, Н = 1 м она составляет по углу выпуска мяча ₀ = 39-47° (см. рис. 4).

3. Основной вклад в расширение цели вносит задняя дуга (это объясняется асимметрией передней и задней дуг относительно траектории мяча на ее подлетном участке к кольцу). Он превосходит аналогичный вклад от передней дуги, например для оптимальной траектории по углу раскрытия цели - в 4 раза (см. рис. 3, а) и в 13 раз - для траектории, требующей минимальных усилий на бросок (см. рис. 3, б). Наши наблюдения в целом подтверждают этот результат (см. таблицу), где аналогичное соотношение составило 3,7-4,6.

4. Асимметрия "работы" передней и задней дуг приводит к смещению расположения центра расширенной цели относительно центра кольца в сторону задней дуги. Зависимость хc от aвып показана на рис. 5. Например, смещение центров составляет x_c = 3,5-6 см для диапазона, представленного крайними значениями в примере на рис. 3, а и 3, б.

Вычисления интеграла вероятности (3) по области расширенной цели с центровками прицеливания в одном случае на центр кольца m_x = m_у = 0, а в другом на центр расширенной цели m_x = x_c показали в последнем случае прирост результативности попаданий в кольцо до 5% при x = у, S = 4,225 м, Н = 1 м, ₀ = 60°. Для более низких траекторий этот прирост еще выше. Отсюда следует практический вывод: выполнять броски следует с акцентом на задней дуге, а попадание мяча в переднюю дугу - считать ошибкой в отличие от распространенного мнения о том, что ориентиром при бросках по кольцу должна служить передняя дуга [5, 6]. Методически результативные броски с отскоком от задней дуги должны оцениваться так же высоко, как и при "чистом" попадании (в работе [10] касание кольца мячом считалось ошибкой).

Распределение бросков по области кольца (в %) Женские команды (высшая лига), 1988 г.

Рис. 7. Изменение оптимальных углов выпуска мяча aопт и объемного угла цели в зависимости от высоты выпуска при S = 4,225 м. - оптимальные углы по условию максимального "раскрытия" цели (max); _E - оптимальные углы по условию наименьшей энергии, затраченной на бросок (Е min)

Анализ данных, представленных в таблице, показывает, что в настоящее время игроки не делают различия между отскоками от передней и задней дуг: если для штрафных бросков процент приходов мяча на заднюю дугу (30,6) больше, чем на переднюю (23,2), то для средних имеется обратное соотношение (36,7 : 41,3), а для дальних это соотношение примерно одинаково.

5. Для правильной центровки бросков по кольцу (т.е. приходящихся в среднем на центр расширенной цели) необходимо ввести простое правило: количество не попавших в кольцо мячей должно делиться поровну между передней и задней дугами (в достаточно большой серии испытаний n > 100). Это следует из симметрии кривой нормального распределения вероятностей приходов мяча относительно центра прицеливания. Указанное правило центровки сразу выявляет ошибки прицеливания (см. таблицу), где значительно больший процент непопавших мячей приходится на переднюю дугу. С увеличением дальности бросков разбаланс не попавших в кольцо мячей, приходящихся на переднюю и заднюю дуги, уменьшается из-за того, что эллипс рассеивания растет. Например, отношение (разбаланс) 17,7/6,4 ~= 2,77 для штрафных бросков уменьшается до 36,1/24,7 ~= 1,46 для дальних бросков.

6. Оптимальные траектории по максимальному "раскрытию" цели ( Qmax ) и минимальным затратам энергии (Еmin) существенно отличаются друг от друга, углы выпуска мяча которых, например для S = 4,225 м и Н = 1м, составляют = 60°, _E = 51° (рис. 6). Однако для штрафных бросков основным критерием должен служить , так как он дает траекторию с максимальным угловым размером цели при небольших избытках затрат энергии по сравнению с минимальными затратами при _E (всего на 3,7-7%), что несущественно для бросков со средних дистанций. Количественные оценки по формуле (3) при правильной центровке прицеливания дают рост процента попадания, например с 73% для ₀ = 51° до 82% для ₀ = 60°

При дальних бросках для облегчения технического исполнения приема следует несколько занижать ₀ по сравнению с оптимальным с целью ослабления слишком больших усилий на бросок и обеспечения необходимой скорости вылета мяча в условиях несколько сниженных нагрузок.

Рис. 8. Изменение оптимальных углов выпуска мяча сгопт и объемного угла цели в зависимости от расстояния до кольца S при Н = 1 м. - оптимальные углы по условию максимального "раскрытия" цели (max); a_E- оптимальные углы по условию наименьшей энергии, затраченной на бросок (Е min)

7. С увеличением высоты выпуска мяча (3,05 м - Н) и расстояния до кольца S оптимальные углы
выпуска и _E уменьшаются (рис. 7, 8). Оптимальные углы ₀ для рассмотренных вариаций параметров составляют _E = 44-54°, = 52-63°. (Рекомендации по [4, 6, 10] укладываются в полученный диапазон, однако не оговаривается влияние Н и S.).

8. Для высокорослых игроков (Н=0) размер цели больше, чем для "малышей" (Н=1 м) на 36%, а затраты энергии на бросок на 25% меньше для оптимальной траектории по max при S = 4,225 м. Иначе говоря, большой рост дает игроку дополнительные преимущества: большую вероятность попадания в кольцо и минимум затрат энергии на бросок при прочих равных условиях. Объясняется это тем, что рука "Гулливера" всегда ближе к кольцу, чем рука "малыша".

9. Постоянным и не зависящим от координат точки выпуска мяча (Н, S) для всех оптимальных по max траекторий полета остается угол атаки = 54°. Это влечет за собой постоянство геометрии цели, находящейся в плоскости кольца, о которой можно говорить как об оптимальной. Ее иллюстрирует рис. 3, а, пригодный для всех оптимальных по rnax траекторий. Для оптимальной цели характерны отношения площадей как целых чисел: вклад в расширение цели от задней дуги относится к вкладу от передней, как 4:1, а вклад в расширение цели от обеих дуг (показанный на рис, 3, а штриховкой) относится к площади "чистой" цели, как 1:1. Смешение же центра расширенной цели к задней дуге, как уже указывалось выше, составляет 3,5 см.

Настоящие теоретические исследования и педагогические наблюдения легли в основу разработки комплексной методики повышения результативности бросков баскетболистов со средних и дальних дистанций, содержащей теоретический анализ полета мяча, разработку диагностических и тренажерно-исследовательских средств, а также методических указаний для спортсменов и тренеров.

Литература

1. Бэтчелор. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973, с. 720.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988, с. 480.

3. Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. - М.: Наука, 1990 (Библиотечка "Квант", вып. 77), с. 286.

4. Голомазов С.В. Автореф. дис. М., 1973.

5. Джон Р. Вуден. Современный баскетбол. - М.: ФиС, 1987, с. 256.

6. Донченко П.И. Баскетбол юным. - Ташкент: Медицина, 1989, с. 112.

7. Коузи Б., Пауэр Ф. Баскетбол. Концепции и анализ. - М.: ФиС, 1975, с. 272.

8. Кудимов В. "Физ. культ, в школе", 1976, № 4, с. 48-49.

9. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1986, с. 288.

10. Полневский С.А., Тименов С.Н., Селихов Ю.Г. и др. "Теор. и практ. физ. культ.", 1986, № 11, с. 53-55.

11. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964, с. 814.

12. Цудзи, Морикава, Мидзуно. Теоретические основы инженерных расчетов, 1985, вып. 14, с. 254-261.

Поступила в редакцию 29.07.91

  На главную    В библиотеку    Обсудить в форуме 

При любом использовании данного материала ссылка на журнал обязательна!