К ТЕОРИИ ПОЛЕТА ЛЫЖНИКА ПРИ ПРЫЖКАХ С ТРАМПЛИНА

НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

Abstract

ON THEORY OF SKIER'S FLIGHT WHEN SKI-JUMPING

N.A. Bagin, lecturer

Yu.I. Voloshyn, senior teacher

V.P. Yevteyev, professor

Velikiye Luki state institute of physical culture

Key words: ski-jump, theory of flight, centre of skier's gravity, equation of movement, trajectory, length of jump.

The aim of this study was to offer the method of calculation the length of ski-jump. The offered theory allows to conclude that the length of ski-jump increases with the initial speed's aerodynamic quality of flight, angles of flying out track's slope and landing as well as with the decreasing of the head resistance.

К ТЕОРИИ ПОЛЕТА ЛЫЖНИКА ПРИ ПРЫЖКАХ С ТРАМПЛИНА

Кандидат педагогических наук, доцент Н.А. Багин, Ю.И. Волошин,
доктор физико-математических наук, доцент В.П. Евтеев
Великолукский государственный институт физической культуры

Ключевые слова: прыжки с трамплина, теория полета, центр тяжести лыжника, уравнение движения, траектория, протяженность прыжка.

После разгона и правильно выполненного отталкивания от стола отрыва результат прыжка с трамплина определится полетом лыжника в воздухе под действием тяжести и аэродинамических сил.

Рассмотрение полета в спортивной литературе [2, 4] часто носит нестрогий, качественный характер, основанный главным образом на результатах эксперимента и анализа мировых рекордов. В настоящей работе получены простые формулы, позволяющие тренеру количественно проанализировать зависимость длины прыжка от начальной скорости полета, угла вылета со стола отрыва, геометрии трамплина, аэродинамических качеств полета и скорости ветра.

Выберем начало координат на краю стола отрыва и направим горизонтальную ось Х вдоль трамплина, а ось Y вертикально вверх.

Выпишем уравнения движения центра тяжести лыжника в координатной форме:

V_x= -(K_xV_x/V+K_yV_y/V) (V+U₀V_x/V)², (1)

V_y= -g-(K_xV_y/V+K_yV_x/V) (V+U₀V_x/V)², (2)

где V_x, V_y - проекции скорости полета на координатные оси, V - абсолютная величина скорости, U₀ - алгебраическая скорость горизонтального ветра, положительная при встречном ветре и отрицательная при попутном.

K_x=? rC_xS/m, K_y=? rC_yS/m - аэродинамические числа, имеющие размерность, обратную длине, r - плотность воздуха; С_x - коэффициент лобового сопротивления; C_y - коэффициент подъемной силы; S - фронтальная площадь лыжника с лыжами; m - масса лыжника с лыжами. Точкой обозначены производные по времени.

Уравнения (1) и (2) нелинейные. Упростить их анализ и получить приближенные решения удобно переходом к функциям комплексного переменного. Ранее этот прием успешно применялся одним из авторов к системам нелинейных уравнений небесной механики [3]. Он позволяет свести систему двух уравнений к одному. С этой целью введем в рассмотрение комплексную скорость полета (КСП): W=V_x+iV_y, (3)

где i - мнимая единица и комплексное аэродинамическое число K=K_x+iK_y. (4)

Умножая уравнение (2) на мнимую единицу и складывая с первым уравнением, получим с учетом (3) и (4) следующие уравнения для КСП:

W=-ig-K(V+U₀(W+W)/2V)²W/V, (5)

где чертой сверху обозначены комплексно-сопряженные величины.

Полет лыжника состоит из взлета на вершину траектории и спуска с нее. Рассмотрим их поэтапно. Запишем уравнение (5) в виде:

W=-ig-K(V+U₀cosj)²W/V. (6)

За время взлета, измеряемого несколькими десятыми долей секунды, скорость полета изменяется мало, а полярный угол изменяется от угла вылета j₀ в несколько градусов до нуля на вершине траектории. Поэтому мы не совершим большой ошибки, если заменим в (6) скорость V начальной скоростью V₀ и затем усредним полученный коэффициент перед W по интервалу изменения полярного угла. Тогда уравнение (6) превращается в дифференциальное линейное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

W=-ig-KC₀W, (7)

где C₀=V₀+2U₀sinj₀/j₀+U₀²(1+sin2j₀/2j₀/2V₀.

Решение уравнения (7) имеет вид:

W=W₀exp(-KC₀t)-ig(1-exp(KC₀t))/KC₀. (8)

На протяжении всего взлета K_xC₀t<<1, поэтому, разлага показательные функции в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим из (8) следующее упрощенное выражение для КСП:

W=W₀(1-KC₀t)-igt. (9)

Выделим в (9) действительную и мнимую части. В результате будем иметь:

V_x = V₀cosj₀- a_xt, (10)

V_y = V₀sinj₀ - (g-a_y)t, (11)

a_x = (K_x cosj₀ + K_y sinj₀)C₀V₀, (12)

a_y = (K_ycosj₀ - K_xsinj₀)C₀V₀, (13)

В приближении (10), (11) движения центра тяжести лыжника вдоль координатных осей равнозамедленные. Аэродинамические ускорения даются формулами (12), (13).

Время взлета t_a на вершину определится из условия V_y=0

t_a = V₀ sinj₀ / (g-a_y). (14)

Интегрируя функции (10) и (11), найдем координаты вершины траектории:

x_a = V₀ cosj₀ t_a - ?a_xt_a², (15)

y_a = V₀ sinj₀ t_a - ?(g-a_y)t_a². (16)

Рассмотрим теперь спуск лыжника с вершины траектории. Начальная скорость спуска равна:

V_a = V₀ cosj₀ - a_xt_a. (17)

Затем скорость нарастает от скорости (17) вплоть до скорости Vg свободного планирования при полете с больших трамплинов. Определим эту скорость. При свободном полете аэродинамические силы и сила тяжести взаимно уравновешиваются и КСП перестает зависеть от времени.

Уравнение (5) принимает вид:

- ig - KP₀²W_g / V_g = 0, (18)

где P₀ = V_g + U₀(W_g +W_g) / 2V_g. (19)

Сложим равенство (18) с комплексно-сопряженным равенством

ig - KP₀² W_g / W_g = 0.

В результате получим:

KW_g + KW_g = 0.

Умножив на KW_g, находим |K|² W_g² + K²V_g² = 0,

W_g = -ikV_g / |K|. (20)

Подстановка (20) в (18) дает Р₀² = g/ |K|.

Выбор противоположного знака в формуле (20) приведет к отрицательному значению Р₀², что невозможно. Следовательно,

P₀ = (g/|K|)^?. (21)

Подставив (20) и (21) в (19), получим для скорости планирования следующее выражение:

V_g = (g/|K|)^? - (K_g/|K|)U₀. (22)

При встречном ветре скорость свободного полета (22) уменьшается, а при попутном - увеличивается. Если ветра нет, то согласно (21)

V_g = P₀.

Линеаризуем уравнение (5), подставив в выражение для коэффициента перед W скорости свободного полета (23) и (22). Тогда оно примет вид:

W = -ig - KbW, (23)

где

b = P₀²/V_g = g/|K|V_g. (24)

Решение уравнения (23):

W = V_aexp(-KbT) - ig(1-exp(-KbT))/Kb, (25)

где

T = t - t_a, (26)

обладает тем важным свойством, что при T, стримящемся к бесконечности, оно асимптотически стремится к скорости свободного полета (20). Действительно, при T, стримящемся к бесконечности, показательные функции стремятся к нулю и согласно (24):

W = -ig/Kb = -iKg|K| V_g/|K|²g = W_g.

При T = 0 из формулы (25) следует начальная скорость спуска V_a. Поэтому мы полагаем, что функция (25) достаточно хорошо аппроксимирует КСП на всем протяжении полета. Интегрируя (25), получим в параметрической форме следующую аппроксимацию комплексной траектории спуска (КТС): Z = Z_a + V_a(1 - exp(-KbT))/Kb - ig(T- (1 - exp(-KbT))/Kb)/Kb. (27)

При прыжках с больших трамплинов K_xbT ~1. Поэтому разложим показательные функции в ряд и ограничимся не двумя, как выше, а четырьмя членами разложения. Тогда более простая аппроксимация КТС имеет вид

Z = Z_a+ V_a(t - ?KbT² + 1/8(Kb)²T³) - ig(? T² - 1/8KbT³). (28)

Выделив в (28) действительную и мнимую части, получим аппроксимацию траектории спуска в параметрической форме:

X = X_a + V_aT - ЅK_xbV_aT² + 1/8(K_ybg + (K_x² - K_y²)b²V_a)T³, (29)

Y = Y_a - 1/8(g - K_ybV_a)T²+ 1/8(K_xbg - 2K_xK_yb²V_a)T³. (30)

При приземлении лыжника траектория полета пересекается с плоскостью

Y + H + (X - N) tg? = 0 (31)

дорожки приземления [5], где Н - глубина опускания траектории расчетного прыжка; N - проекция траектории расчетного прыжка на продольную ось горы приземления, ? - угол наклона дорожки приземления. Подставив (29) и (30) в (31), из кубического уравнения

T_c³ - BT_c² + CT_c - D = 0, (32)

где B = 3(g + (K_xtg? - K_y)bV_a)/A, (33)

A = (K_x + K_ytg?)bg - (2K_xK_y - (K_x² - K_y²)tg?)b²V_a, (34)

C = bV_atg? /A, (35)

D = 6n/A, (36)

n = (N - X_a)tg? - H - Y_a, (37)

оценим время спуска t_c.

Подстановкой T_c = Q + B/3 (38)

уравнение (32) приводится к виду Q³+ PQ-q= 0, (39)

где P = B²/3 + C, (40)

q = 2B³/27 - BC/3 + D. (41)

Решение кубического уравнения (39) находится по формуле:

Q = ((q²/4 + P³/27)^? + q/2)^1/8- ((q²/4 + P³/27)^? - q/2)^1/8. (42)

Подставив затем время спуска, вычисленное по формулам (33-42), в выражения (29) и (30), определим координаты места приземления лыжника X_L, Y_L и длину прыжка

L = (X_L² + Y_L²)^?. (43)

Например, при общепринятой позе (руки назад) в полете лыжника массой m=70 кг, когда C_x = 0,72, C_y = 0,61, r = 1,23 кг/м³, S = 0,62 м², K_x = 3,92Ч10^-3 м^-1, K_y = 3,32Ч10^-3 м^-1,

j₀ = 6⁰, V₀ = 30 м/с.

Согласно (12-17) t_a = 0,441C, V_a = 28,16 м/с, X_a = 12,8 м, Y_a = 0,7 м.

При отсутствии ветpа b=43,7 м. Для трамплина с параметрами Н=56 м, N=102 м, H/N=0,55, L=116 м.

По формулам (29-43) получим T_c = 5,43c, X_L = 137,6 м, Y_L = -76,1 м, L = 157 м.

Результат оказался несколько завышенным. Его можно уточнить, если исходить из более точной аппроксимации траектории спуска, которая следует из КТС (27) при выделении действительной и мнимой частей:

X = X_a + (K_ygT + f₁S_e(T) - f₂C_e(T)/|K}²b, (44)

Y = Y_a - (K_xgT - f₁C_e(T) - f₂S_e(T)/|K|²b, (45)

где f₁= (K_x² - K_y²)g/|K|²b + K_yV_a,f₂ = 2K_xK_yg/|K|²b - K_xV_a, (46)

S_e(T) = exp(-K_xbT)sinK_ybT, C_e(T) = 1 - exp(-K_xbT)cosK_ybT. (47)

После подстановки приведенных выше исходных данных в формулы (44-47) и времени спуска T_c = 5,43C, найденного из кубического уравнения (32), находим X_L = 127,4 м, Y_L = -71,7 м, L = 146 м. Кубическая аппроксимация (29), (30) спуска, давая завышенную длину прыжка, почти не изменяет расчетного параметра прыжка H/N H_L/N_L=0,553. Поэтому именно ее следует положить в основу расчета времени спуска. При этом можно обойтись без решения (42) уравнения (39), поскольку |Q|³ <<1. Поэтому |Q|~ q/p. (48)

В приведенном выше примере P = 182,7 C², q = -36,3C³,

B = 17,04C.

Согласно (42) Q = -0,23C, а по формуле (47) Q = -0,20C. Из равенства (38) T_c =5,46C. Ошибка равна 0,55%. Кубическую аппроксимацию можно значительно улучшить с помощью простейших аппроксимантов Паде [1], записать X = X_a - ?K_xbV_aT²/(1 + f_x T) + V_a T, (49)

Y = Y_a - ?(g - K_ybV_a) T²/(1 + f_y T), (50)

f_x = 1/3(K_yg + (K_x² + (K_x² - K_y²bVa)/K_xVa, (51)

f_y = 1/3(K_xbg - 2K_xK_yb²Va)/(g - K_ybVa). (52)

Первые два члена разложения в степенные ряды функций (49) и (50) даают кубическую аппроксимацию, остальные определенным образом учитывают неучтенные ранее члены разложения более высоких степеней t. Для нашего примера расчет по формулам (49-52), (43) дает:

X_L = 122,6 м, Y_L = -76,7 м, L = 144,6 м.

Последний результат практически совпадает с длиной прыжка, рассчитанной по более точным формулам (44-47).

Из приведенной выше теории, справедливой при любом ветре, следует вывод, что длины прыжков с трамплинов увеличиваются с ростом начальной скорости, аэродинамического качества полета, углов вылета и наклона дорожки приземления и снижения лобового сопротивления. Легко количественно проанализировать влияние этих факторов на длину прыжка с помощью обычного микрокалькулятора.

Литература

1. Апресян Л.А. Аппроксиманты Паде. Изв. вузов. Радиофизика, 1979, т. 22, № 6, с. 653-674.

2. Грозин Е.А. Прыжки на лыжах с трамплина. - М.: ФиС, 1971.

3. Евтеев В.П. Периодические решения плоской эллиптической задачи трех тел. - Космические исследования, 1988, т. 26, вып. 5, с. 785-787.

4. Прыжки на лыжах с трамплина. Под ред. Г.Р. Ниренберга. - М.: ФиС, 1964, с. 140-152.

5. Спортивные сооружения /Под ред. Ю.А. Гагина. - М.: ФиС, 1976, с. 162-167.

Поступила в редакцию 06.03.96

На главную В библиотеку Обсудить в форуме

При любом использовании данного материала ссылка на журнал обязательна!